Bilangan Prima : Pengertian, Rumus, dan Contoh yang Mudah diPahami

Daftar Isi [Tutup]

    Bilangan prima adalah bilangan asli (bilangan bulat positif) yang memiliki nilai lebih besar dari pada angka 1 (contoh angka 2 dan 3) dan faktor pembagi yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Angka 4 tidak termasuk dalam bilangan prima, karena angka 4 akan bisa jika dibagi 2.

    Dalam bahasan ilmu matematika, bilangan prima ini menjadi salah satu topik bahasan yang menarik. Hal tersebut dikarenakan bilangan prima ini adalah bahasan paling fundamental dan mendasar dalam kajian teori bilangan dalam ilmu matematika. 

    Banyak yang beranggapan bahwa bilangan prima merupakan suatu kajian yang unik dan asyik yang penting untuk dipelajari oleh para pelajar indonesia. 

    Pada kesempatan kali ini, penulis mengajak kamu untuk lebih detail dalam memahami materi tentang bilangan prima ini. Dalam konten kali ini, saya akan mengulas definisi dasar bilangan prima, rumus - rumusnya, dan contoh soal yang disertai pembahasan yang insyallah mudah untuk difahami. 

    Pengertian Bilangan Prima

    Bilangan prima adalah bilangan asli (bilangan bulat positif) yang memiliki nilai lebih besar dari pada angka 1 dan faktor pembagi yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Angka 4 tidak termasuk dalam bilangan prima, karena angka 4 akan bisa jika dibagi 2.

    Mengacu pada definisi bilangan prima diatas, dapat kamu fahami bahwa  angka 2 dan angka 3 adalah bilangan prima. Karena dua angka tersebut dapat dibagi dengan angka 1 dan dengan angka itu sendiri.

    Dalam pengertian dijelaskan bahwa angka 4 bukan bilangan prima, mengapa ? karena angka 4 bisa dibagi dengan dengan tiga angka, yaitu angka 1, angka 2, dan angka 4. Itu melebihi ketentuan dasar bilangan prima yang mana bilangan prima hanya bisa di bagi oleh angka 1 dan bilangan itu sendiri.

    Masih bingung dengan penjelasan tersebut ? yuk, Lanjut ! 

    Saya kasih sepluh angka bilangan prima dalam sistem bilangan, sepluh angka tersebut adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

    Kesepuluh angka tersebut adalah termasuk dalam bilangan prima. Selain dari pada angka tersebut (kurang dari 29) bukan bilangan prima. Bilangan yang bukan bilangan prima disebut dengan komposit.

    Jadi bilangan komposit adalah bilangan yang dapat dibagi dengan lebih dari dua angka, tidak hanya angka satu dan angka itu sendiri. dan angka 4 itu termasuk bilangan komposit. 

    Sebuah bilangan bulat p > 1 dikatakan prima, jika dan hanya jika pembagi p hanya  ± 1 dan  ±p . Dan jika sebuah bilangan tidak prima, maka disebut bilangan komposit.

    Contoh

    • Bilangan prima : 2, 3, 5, 7, 11, dan seterusnya
    • Bilangan komposit : 4, 6, 8, 10, dan seterunya

    Rumus dan Teorema - Teorama Bilangan Prima

    Teorema 1 Bilangan Prima

    Sebuah bilangan bulat n > 1 , maka ada bilangan prima p sedemikian hingga p|n

    Pembuktian:

    Misal S himpunan bilangan bulat >1 yang tidak mempunyai pembagi prima. Akan ditunjukkan S himpunan kosong. Seandainya itu tidak kosong, menurut The Well-Ordering Property itu akan mempunyai anggota terkecil.

    Misal m > 1, dan tidak mempunyai pembagi prima. Maka m adalah bilangan komposit. Sehingga m = a.b dimana 1 < a  < m dan 1 < b < m . 

    Karena 1 < a  < m, maka faktor a bukan anggota S, sehingga harus mempunyai pembagi prima
    p, maka harus mempunyai pembagi prima p. Maka p|a dan a|m

    Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa m tidak memiliki pembagi prima. Jadi, S harus himpunan kosong

    Contoh Penggunaan Teorema 1

    Bilangan 6 > 1 , dimana ada 2 anggota bilangan prima sedemikian hingga 2|6.

    Teorema 2 Bilangan Prima

    Jika p bilangan prima dan p|ab, maka p|a atau p|b

    Pembuktian:

    Assumsikan p adalah bilangan prima dan p|ab . Andaikan p\a, maka akan dibuktikan p|b . Karena p |a , maka (a,p = 1 ) . Karena p adalah bilangan prima,  p\ab dan (a,p) =1 , berdasarkan teorema yang berbunyi “Jika a dan b relatif prima, dan a/bc , maka a/c ”, sehingga p|b.

    Contoh Penggunaan Teorema 2

    Untuk bilangan prima 2 dan 2|12 , 4.3 maka 2|4

    Teorema 3 Bilangan Prima

    Jika bilangan prima dan p|(a1,a2, . . an ), maka membagi beberapa

    Contoh Penggunaan Teorema 3

    • Untuk bilangan prima 2 dan 2|24 = 4.2.3, maka 2|4 dan 2|2
    • Untuk bilangan prima 3 dan 2|90 = 6.3.5, maka 3|6 dan 3|3

    Teorema 4 Bilangan Prima (Faktorisasi Tunggal)

    Setiap bilangan bulat positif n > 1 dapat dituliskan sebagai hasil perkalian bilangan prima, dan faktorisasi tersebut bersifat tunggal

    Contoh Penggunaan Teorema 4 

    • 36 = 3.2.3.2
    • 90 = 2.3.3.5
    Sedangkan untuk faktor yang berulang dapat dikumpulkan dan dituliskan dengan menggunakan bilangan berpangkat
    n = pm1 1pm2 2pm3 . . . rpmr

    Contoh :

    • 36 = 22 . 32
    • 90 = 2 . 32 . 5
    Sedangkan (36,90) dapat ditentukan dengan mengalikan semua faktor prima yang sama dan berpangkat terkecil.
    • (36,90) = 2.32 = 18

    Teorema 5 Bilangan Prima

    Banyaknya bilangan prima adalah tak terhingga. Atau dengan kata lain tidak ada akhir dari barisan bilangan prima

    Buatlah daftar bilangan prima yang kurang dari 40?

    Faktorisasi Prima atau Pohon Faktor

    Faktorisasi prima adalah angka - angka bilangan prima yang menyusun suatu bilangan. Untuk dapat mengetahui faktorisasi suatu bilangan prima kamu dapat menggunakan pohon faktor sebagai bantuan. 

    Tahapan dalam mencari faktorisasi prima suatu bilangan dengan menggunakan pohon faktor adalah membagi bilangan secara terus menerus dengan menggunakan angka bilangan prima terkecil yang memungkinkan untuk membagi bilangan p. 

    Pada contoh didapatkan hasil bahwa: 
    • Angka 16 memiliki faktor prima 2 x 2 x 2 x 2 
    • Angka 24 memiliki faktor prima 2 x 2 x 2 x 3

    Kamu dapat menggunakan metode tersebu terhadap angka - angka lainnya. Adapun tahapan yang perlu kamu ikuti adalah sebagai berikut: 
    • Gunakan angka bilangan prima terkecil untuk membagi suatu bilangan. Angka bilangan prima yang kecil yaitu 2. 
    • Jika tidak memungkinkan untuk dibagi dengan 2, kamu dapat menggunakan angka prima yang lebih besar, yaitu 3.
    • Jika tidak memungkinkan untuk dibagi dengan 3, kamu dapat menggunakan angka prima yang lebih besar, yaitu 5.
    • Dan lakukan itu seterusnya hingga sampai pada angka tersebut habis dibagi.

    Mengapa Angka 1 Bukan Bilangan Prima?

    Angka satu tidak dikatakan sebagai bilangan prima karena angka satu hanya dapat dibagi dengan angka 1 dan tidak ada lagi yang dapat membaginya.

    Maksudnya, angka 1 hanya dapat dibagi dengan 1 (satu) angka saja. Sedangkan syarat dasar bilangan prima adalah bilangan asli yang dapat dibagi dengan angka 1 dan angka itu sendiri (berarti ada 2 angka yang dapat digunakan sebagai faktor prima). dan angka satu tidak memiliki 2 faktor prima.

    Itulah alasan mengapa angka 1 tidak termasuk dalam bilangan prima, dan mengapa angka prima pun dimulai dari angka 2. Jadi angka satu termasuk dalam angka bilangan komposit.


    Gambar diatas adalah gambar pola bilangan prima. dan dari gambar ditas juga kamu dapat memahami bahwa satu - satunya bilangan prima yang genap adalah angka 2.

    Kumpulan Contoh Bilangan Prima

    Agar lebih mudah, bilangan-bilangn prima ini akan saya sajikan berkelompok:

    1.Angka Bilangan Prima 1 & 2 digit (Kurang dari 100)

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

    2. Angka Bilangan Prima 3 digit (Lebih dari 100)

    101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

    3. Angka Bilangan Prima 4 digit (Lebih dari 1000)

    1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, dan seterusnya.

    4. Angka Bilangan Prima Terbesar

    Pada dasarnya tidak ada istilah yang menjelaskan tentang bilangan prima paling besar. Karena angka itu jumlahnya tidak terhingga (tidak terhitung).

    Jika ada suatu bilangan prima yang disebut sebagai bilangan yang sangat besar, maka sudah tentu akan ada lagi yang lebih tinggi nilainya dibanding dengan itu.

    Secara matematis, konsep tersbut (Tidak ada bilangan nilai prima terbesar) telah dibuktikan oleh ahli matematika dari Yunani Kuno Bernama Euclid. . 

    Pembuktian matematika bahwa “” ini diberikan oleh Matematikawan Yunani Kuno bernama Euclid. Dia membuat sebuah teorema yang menyatakan bahwa : 
    Untuk setiap bilangan nilai prima p, terdapat bilangan prima p ‘seperti p’ lebih besar dari p.
    Pembuktian secara matematis tersebut telah diakui oleh banyak matematikawan dunia dan telah memperoleh validasi konsep bahwa tidak ada bilangan nilai prima “terbesar”. Subhanallah


    Ditahun 2007, seorang ilmuan matematika telah berhasil mencapai perhitungan sangat tinggi nilainya untuk menemuka bilangan priba yang besar dengan nilai 2^23.582.657-1 yang terdiri dari 9.808.358 digit. dan hingga saat ini belum ada lagi yang menemukan lebih dari itu, namun pasti akan ada yang lebih besar lagi nilainya. 

    Contoh Soal Bilangan Prima 1

    Tentukan bilangan angka prima di antara 1 sampai dengan 30!

    Jawaban

    Bilangan faktor prima di antara 1 sampai 30 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, dan 29,.

    Contoh Soal Faktor Prima 2

    Tentukan faktor prima dari angka 75!

    Jawaban

    Langkah untuk menjawab pertanyaan seperti ini dapat dilakukan seperti pada contoh sebelumnya.
    • 75 tidak bisa di bagi 2, maka dilanjutkan dengan bilangan prima 3.
    • Bagi 75 dengan 3, dihasilkan 25.
    • Angka 25 tidak bisa dibagi dengan 2 dan 3, oleh karena itu proses dilanjutkan dengan bilangan prima 5.
    • Bagi 25 dengan 5, sehingga menyisakan hasil akhir 5.
    Berdasarkan hasil pertihitungan diatas, dapat menyimpulkan bahwa faktor prima dari 75 adalah 3 x 5 x 5.

    Contoh Soal Faktor Prima 3

    Tentukan faktor prima dari 105!

    Jawaban

    Metode penyelesaiannya sama dengan soa sebelum - sebelumnya.
    Ini adalah gambar pohon faktor yang dapat mempermudah untuk memahasi prosesnya.

    Dari pohon faktor tersebut, dapat diketahui bahwa faktor prima dari 105 adalah 3 x 5 x 7.

    Manfaat dan Kegunaan Bilangan Prima

    Saat mempelajari ilmu matematika yang demikian, diakhir kata pasti kamu akan bertanya, Untuk apa sih saya mempelajari ini, apa sih manfaatnya, dan apasih kegunaanya. Kenapa kok saya capek capek harus belajar ini. 

    Itu adalah pertanyaan orang cerdas yang mau untuk terus maju dan kristis. Berikut adalah beberapa statemen yang menjelaskan manfaat dan kegunaan bilangan prima yang dapat menjawab seluruh pertanyaan kamu diatas. 

    1. Fundamental Ilmu Matematika

    Dalam memepelajar ragam ilmu matematika, kamu akan dihadapkan level - level pelajaran matematika yang lebih tinggi seperti FPB (Faktor Persekutuan Terbesar), penyederhanaan pecahan, dan lain sebagainya. Pada dasarnya, semua itu memiliki kaitan erat dengan yang namanya bilangan prima ini. 

    Oleh karena itu, pelajarilah bilangan prima ini dengan sebenar - benarnya untuk mempermudahmu dalam level - level matematika yang lebih tinggi.

    2. Digunakan untuk Enkripsi Data di Komputasi

    Dalam dunia teknologi dan informasi, bilangan prima juga kerap digunakan untuk melakukan enkripsi data (pengamanan data). Dimana dengan menggunakan bilangan prima ini data menjadi akan menjadi lebih private dan rahasia.

    Oleh karena itu, untuk masalah keamanan data, seperti keamanan sistem, sistem keamanan rekening bank, dan lain sebagainya, sering berurusan dengan bilangan prima ini. 

    Demikian ulasan artikel kami tentang bilangan prima yang kami rangkum dari berbagai macam sumber bacaan. Dengan artikel ini, semoga dapat menjadi refrensi dalam pembuatan tugas makalah anda dan dalam proses pemahaman tentang bilangan prima itu sendiri. Mohon maaf bila ada salah dan terima kasih atas dukungannya.